Rationals r(n)= A121504(n)/A120785(n)  

 r(n):= sum(C(k)*(1+2^(k+1))/16^k,k=0..n), n>=0, with C(k)=A000108(k) (Catalan numbers). 

 Partial sums of a series with value 4*(4-(sqrt(2)+sqrt(3))).

 r(n), n=0..30:

[3, 53/16, 433/128, 13941/4096, 111759/32768, 1789509/524288, 14320329/4194304, 916611309/268435456, 7333257267/2147483648, 117334608047/34359738368, 938685468127/274877906944, 30038055403185/8796093022208, 240304869286059/70368744177664, 3844880951681069/1125899906842624, 30759058568289097/9007199254740992, 3937160132112061181/1152921504606846976, 31497283374114429403/9223372036854775808, 503956550978697607723/147573952589676412928, 4031652470434759957859/1180591620717411303424, 129012879980468085641803/37778931862957161709568, 1032103043285235892925489/302231454903657293676544, 16513648718218520810138099/4835703278458516698824704, 132109189841674598567801887/38685626227668133590597632, 8454988152744967099410426793/2475880078570760549798248448, 67639905232780237367234736167/19807040628566084398385987584, 1082238483806053724048825296667/316912650057057350374175801344, 8657907870756582844526279196187/2535301200456458802993406410752, 277053051868876968654083509866441/81129638414606681695789005144064, 2216424414968715574689930044091363/649037107316853453566312041152512, 35462790639633967868388791363595133/10384593717069655257060992658440192, 283702325117583781768010263854307145/83076749736557242056487941267521536]



 
  Numerators are A121504(n). For n=0..30:

[3, 53, 433, 13941, 111759, 1789509, 14320329, 916611309, 7333257267, 117334608047, 938685468127, 30038055403185, 240304869286059, 3844880951681069, 30759058568289097, 3937160132112061181, 31497283374114429403, 503956550978697607723, 4031652470434759957859, 129012879980468085641803, 1032103043285235892925489, 16513648718218520810138099, 132109189841674598567801887, 8454988152744967099410426793, 67639905232780237367234736167, 1082238483806053724048825296667, 8657907870756582844526279196187, 277053051868876968654083509866441, 2216424414968715574689930044091363, 35462790639633967868388791363595133, 283702325117583781768010263854307145]

  
 The dominators are A120785(n), n=0..30:

[1, 16, 128, 4096, 32768, 524288, 4194304, 268435456, 2147483648, 34359738368, 274877906944, 8796093022208, 70368744177664, 1125899906842624, 9007199254740992, 1152921504606846976, 9223372036854775808, 147573952589676412928, 1180591620717411303424, 37778931862957161709568, 302231454903657293676544, 4835703278458516698824704, 38685626227668133590597632, 2475880078570760549798248448, 19807040628566084398385987584, 316912650057057350374175801344, 2535301200456458802993406410752, 81129638414606681695789005144064, 649037107316853453566312041152512, 10384593717069655257060992658440192, 83076749736557242056487941267521536]



###########################################################################################################################

 Some numerical values for r(n) are, for n=10^k, k=0..3:

 [3.312500000, 3.414917840, 3.414942520, 3.414942520] (maple10, 10 digits).

 This should be compared with the limit 4*(4-(sqrt(2)+sqrt(3))) which is 

  3.414942518 (maple10, 10 digits).

############################################### e.o.f. ####################################################################